Symétries discrètes et Relativité Générale

Le coté obscur de la gravité

Introduction

La RG est une théorie métrique de l'espace temps. Le champ gravitationnel n'y est donc pas comme les autres: il décrit des déformations de l'espace temps lui même et l'invariance globale sous les transformations de la Relativité Restreinte (groupe de Poincaré) est perdue, tous les lieux de l'espace-temps n'étant plus équivalent pour la physique qui s'y déroule. Si au contraire le champ gravitationnel n'est plus assimilé à la métrique de l'espace temps mais décrit un phénomène (toujours descriptible au moyen d'un tenseur métrique) qui vit sur un espace-temps non déformé (plat et stationnaire), alors les symétries globales de la RR sont retrouvées, notamment les symétries discrètes d'espace-temps. Il est même indispensable dans ce cas de devoir introduire un champ gravitationnel conjugué sous symétrie discrète pour symétriser les équations de la physique.

Les Principes de la théorie 

• L'espace temps n'est pas déformable: il est statique et plat, décrit par une métrique eta.

• On introduit sur cet espace-temps un champ tensoriel symétrique d'ordre 2 qui décrira la gravité. La géométrie que définit cette métrique n'est pas celle de l'espace-temps. Des théories reconnues telles que la théorie bimétrique de Rosen ont exploité cette idée de travailler avec plusieurs métriques sur un seul espace-temps, une seule ayant  véritablement à voir avec les propriétés géométriques de cet espace-temps, eta dans notre cas.

• Ayant introduit eta, g et bien sur l'inévitable tenseur de Kronecker, on calcule toutes les combinaisons tensorielles de ces objets et de leurs inverses. Une petite représentation graphique simplifiée (non exhaustive) d'un sous ensemble de tenseurs que l'on obtient alors 

met en évidence l'existence d'un autre tenseur covariant d'ordre2, gdifférent de g, et les  rôles parfaitement symétriques de ces deux tenseurs. Les flèches verticales symbolisent l'opération d'inversion tandis que les flèches diagonales représentent la montée et descente des indices avec eta. Faire jouer un rôle symétrique à ces deux tenseurs, qui sont les deux versants d'un unique champ-Janus de la gravité dans nos équations s'impose donc avant toute chose pour ne pas déteriorer cette symétrie initiale: on obtiendra donc deux univers symétriques: l'univers des objets qui évoluent suivant les "géodésiques" de g et celui de ceux qui évoluent suivant les "géodésiques" de g.

Premières conséquences:

• Les gravités jumelles découlent inévitablement d'une théorie métrique de la gravité sur espace temps plat.
• L'interprétation physique de la symétrie reliant les deux métriques n'émergera qu'à l'issue des calculs: il s'agit d'une symétrie discrète spatio-temporelle.
• L'espace-temps étant plat, l'invariance globale sous translations spatio-temporelles est assurée (et non plus  seulement locale comme en RG) avec trois implications majeures:

                - Les symétries discrètes globales d'espace-temps sont elles aussi pertinentes (ce n'est pas le cas en RG) et nous serons donc autorisé à interpréter la symétrie reliant les deux métriques au sens de l'inversion du temps, de l'espace et de l'échange espace/temps, symétries qui relient les objets gauchers, d'énergie positive et moins rapide que la lumière aux objets respectivement droitiers, d'énergie négative, et plus rapides que la lumière. 

                - Nous aurons à notre disposition les techniques de l'espace-temps plat telles que le théorème de Noether pour calculer de vrais tenseurs énergie-impulsion pour tous nos champs.

                - Nous n'aurons plus à quantifier l'espace-temps lui même puisque nos deux métriques jumelles ne caractérisent pas l'espace temps plat et statique. Nous pourrons utiliser les techniques de quantification sur espace-temps plat.

• Les deux versants de la gravité ne sont pas indépendants: on ne pourra donc pas les faire varier indépendamment au moment d'extrêmiser l'action. L'une peut être éliminée en l'exprimant en fonction de l'autre et de eta  pour aboutir à une équation unique.
• Les éléments de matrice de g sont (dans le système de coordonnées ou eta est triviale: diag(-1,+1+1+1)) les inverses de ceux de g. Par conséquent, on peut anticiper que si g est la gravité produite par une masse m, g sera (de facon exacte si nous avons de la chance) la gravité produite par une masse -m.  On s'attend donc à obtenir une phénoménologie de la gravité équivalente à celle qui découle de la théorie de JPPetit  avec toutes les bonnes propriétés correspondantes.

Les symétries et isométries de la gravité:

            Mais avant d'effectuer les calculs il faut identifier des simplifications nécessaires des formes que prennent les deux gravités dans le système de coordonnées ou eta a la forme  diagonale triviale -1,+1,+1,+1.

Ce sont de nouveaux principes de symétrie qui vont permettre de fixer à priori les formes des métriques ainsi que le nombre de degrés de liberté. Pour réhabiliter les tachyons, c'est une nouvelle symétrie  liant le temps et l' espace. Il y a au final plusieurs symétries: inversion du temps, de l'espace, échange espace-temps, donc plusieurs gravités conjuguées par ces symétries et on comprend pourquoi les tachyons, les objets d'énergie ou masse négative et la matière de chiralité droite n'ont jamais été observés: ils vivent tout simplement dans des gravités différentes de la notre. Il s'avère alors que les gravités conjuguées par ces symétries discrètes spatio-temporelles ont une forme matricielle opposée (-g) ou inverse (g^-1) de la notre (g) dans les systèmes de coordonnées où eta a la forme diagonale triviale -1,+1,+1,+1 et que ces champs ont deux formes possibles et un seul degré de liberté.

On constate aussi que les deux gravités partagent les mêmes isométries. Par exemple une masse ponctuelle m produit des gravités g et  g toutes deux isotropes tandis que les gravités  g et  g de l'univers vide sont homogènes et isotropes ce qui impose la platitude.

On le voit, sous l'action des symétries discrètes la RG s'est scindée donc en deux théories autonomes avec un gain de simplicité extraordinaire puisque les deux formes correspondantes des champs gravitationnels sont les deux seules possibles. On peut alors mener à bien tous les calculs puis interpréter nos solutions et les mettre à l'épreuve des multiples et variés tests de la gravitation. Nous allons maintenant exposer les deux secteurs de la gravité correspondants et leurs retombées phénoménologiques et théoriques.

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